De douteux exercices de maths dans les manuels scolaires

Des exercices de mathématiques qui proposent des calculs qui font peur : du bon usage de l’exponentielle.

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Migrants en bateau by Coast Guard News(CC BY-NC-ND 2.0)

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De douteux exercices de maths dans les manuels scolaires

Publié le 17 septembre 2017
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Par Benoît Rittaud.

C’est un étrange bégaiement de l’histoire qui a été révélé hier soir en fin d’après-midi : un nouveau manuel de mathématiques évoque le drame des migrants dans un exercice pour le moins douteux.

Avatar bien connu de la peur exponentielle, la peur de l’invasion démographique n’en est pas à sa première mise en scène dans les ouvrages scolaires. Voici la nouvelle venue :

Exponentielle et croissance exponentielle

L’idée d’une progression exponentielle de la population s’est développée à partir du XVIIe siècle. Elle s’est fondée sur des modèles démographiques simples, dans lesquels les couples ont tous le même nombre d’enfants, par exemple quatre. En supposant que ces enfants naissent en même temps, qu’ils se marient tous en même temps et qu’ils ont tous leurs propres enfants au même moment, chaque génération se constitue de deux fois plus d’individus que celle qui la précède.

En partant (hypothèse religieuse par excellence) d’un couple originel unique, la population des générations successives est donnée par la suite 2, 4, 8, 16, 32, 64… dans laquelle chaque valeur s’obtient en multipliant par 2 celle qui le précède. On parle de suite géométrique. Le facteur multiplicatif appliqué à chaque valeur pour calculer la suivante est appelé la raison.

L’exercice du manuel ne concerne pas la reproduction à proprement parler, mais le modèle reste celui d’une suite géométrique censée représenter l’évolution d’une population. Cette fois ce sont cent personnes qui constituent la population initiale, et la raison vaut 1,1 (ce dernier nombre est la réponse à la question a).

Les valeurs qui apparaissent dans une suite géométrique deviennent de plus en plus grandes de plus en plus vite. Le terme technique pour en rendre compte est celui de croissance exponentielle.

L’exponentielle, bien pratique pour faire peur

Comprendre les représentations sociales qui se nouent autour de ce concept est tout simplement passionnant. Le pavé que j’ai publié sur la question en 2015 devrait vous en convaincre, mais pour faire court disons que, selon les époques, l’exponentielle sert une vision optimiste ou pessimiste du monde, et que depuis quelques décennies c’est cette dernière qui domine.

Et c’est bien là l’origine d’une partie du problème : de nos jours, affirmer qu’un phénomène évolue en croissance exponentielle a vite fait d’être compris comme un acte d’accusation. Dans le contexte démographique, il s’agit bien souvent de faire peur en suggérant que telle ou telle population va inévitablement nous submerger.

Outre le côté sordide du contexte de l’exercice incriminé, son problème est donc que, bien que rien dans son énoncé ne porte un jugement négatif sur les migrants (peut-être les auteurs voulaient-ils même attirer l’attention sur l’immensité du drame humanitaire ?), nos représentations contemporaines sur la croissance exponentielle font que l’association avec l’idée d’invasion est inévitable.

De plus, principalement depuis Malthus (fin du XVIIIe siècle), l’affirmation d’un lien fort entre pauvreté et démographie exponentielle a eu pour corollaire, chez divers penseurs (notamment eugénistes), que toute politique sociale ou d’intégration était fondamentalement néfaste (une telle politique favorisant la démographie galopante des « inaptes »).

Des antécédents

Ce n’est pas la première fois que la croissance exponentielle pose un souci à un manuel scolaire. Il y a quelques années, un autre manuel avait été retiré de la vente pour avoir proposé un exercice mettant en scène Judas plaçant ses trente deniers à intérêts composés pendant 2000 ans. La croissance exponentielle qui en résultait ne mettait certes pas en jeu une peur démographique, mais avait suggéré à certains que la représentation du Juif Judas endossant la figure de l’usurier relevait d’un stéréotype antisémite.

Un exemple bien plus ancien est celui d’un manuel d’algèbre américain de 1825. On y trouve un exercice qui pose la question du rapatriement des Noirs en Afrique sous la forme d’une sorte de problème de robinet, où à la croissance démographique exponentielle des Noirs doit répondre une quantité suffisante de navires qui doivent permettre de s’en débarrasser …

L’exercice sur les migrants s’inscrit donc, indépendamment de ce qu’en souhaitent ses auteurs, dans une longue tradition de discours aujourd’hui indéfendables. Pour avoir moi-même fait paraître un manuel il y a quelques années je sais qu’il s’agit là d’un travail  très difficile ; il me semble néanmoins étrange que l’équipe éditoriale ait pu laisser passer un énoncé pareil. Chacun a droit à ses opinions, mais un manuel scolaire doit avoir grand soin d’éviter tout ce qui pourrait être interprété comme une prise de position, même indirecte.

Certes, sur d’autres sujets tels que l’environnement ou les énergies renouvelables, les manuels ont déjà jeté la neutralité aux orties depuis longtemps, alors il ne faut peut-être plus trop s’étonner…

Épilogue : l’ouragan Irma a récemment donné l’occasion à Stéphane Foucart d’utiliser lui aussi l’exponentielle dans Le Monde. C’était, bien sûr, à cause du climat qui se détraque :

Les grands feux qui ont saccagé les forêts d’Amérique du Nord à partir du mois d’avril ont surpris les spécialistes. « Vu l’hiver humide qui a précédé, les chances auraient dû pencher vers une saison d’incendies relativement calme, explique Park Williams. Mais cet été, plusieurs canicules extrêmes ont frappé la région, battant des records de chaleur et séchant la végétation qui, sinon, aurait été trop humide pour brûler facilement. » Pour le chercheur américain, cela illustre le fait que « la relation entre la température et le risque d’incendie est exponentielle, ce qui signifie que chaque degré de réchauffement a une influence plus grande que le degré précédent ».

Les peurs de notre temps aiment décidément beaucoup à s’habiller d’exponentielles.

Sur le web

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  • « Au delà » de l’exponentielle, qui dépasse le Français moyen même quand il dispose d’une calculette — et qui d’ailleurs se transforme habituellement en courbe en S, comme le faisait remarquer je crois Roland Moreno –, je vois aussi deux enseignements dans cette affaire. Le premier est qu’il y a une très forte réticence à admettre qu’une information chiffrée puisse faire l’objet d’un calcul supplémentaire de la part du lecteur : ce dernier est censé attendre l’édition suivante du journal, qui l’informera de l’évolution des choses et de ce qu’il est politiquement correct d’en penser. Le second est que l’abstraction, celle qui fait passer de la vie de tous les jours à une formulation posée rigoureusement et mathématiquement modélisée, est ressentie comme un défaut majeur de ceux qui s’y livrent. Ainsi, dans l’exemple des migrants, ce qui choque le plus est de demander d’arrondir à l’unité, évoquant immanquablement chez le lecteur simplet des images d’amputation à la machette !

    • @ MichelO
      Ayant étudié les math’s pour les utiliser, donc sans en faire un but, je ne vois pas comment une exponentielle se termine en courbe en « S »!

      Il est clair qu’en utilisant, comme d’habitude des pommes et des poires, on n’en serait pas arriver là! Les math’s, c’est quand même du conventionnel pur et l’apprentissage de l’abstrait.

      Comme on le voit trop souvent, dans le concret, les formules utilisées, sous couvert d’une expression pseudo « scientifique », permettent à beaucoup de nos clowns politiciens (simple exemple), d’avoir faussement raison, à peu de frais: ainsi, l’invasion par les migrants qui se pressent à vos frontières pour passer en Allemagne ou en Grande Bretagne ne devraient pas servir à M.Le Pen pour vous effrayer!

      • dans la « vraie vie » les arbres ne montent pas jusqu’au ciel.

        tot ou tard ( et en général assez vite) il apparait un facteur limitant a la progression geometrique

        et la progression se calme pour prendre l’allure d’une courbe asymptotique limitée par le volume maximum possible.

        par exemple la croissance d la population mondiale butera, tôt ou tard sur une penurie de nouriture

        • @ poilsagrater
          Je crois avoir pris les précautions nécessaires: math’s n’égale pas réel mais conventionnels et abstrait sinon c’est facile: 0:4: dans le réel=0; dans l’abstrait = ?
          Désolé! Mais une courbe exponentielle n’est pas une asymptote à branche infinie! La formule est différente!

      • @Mikylux
        La courbe en S, c’est exp(x-T) pour x T. Si vous avez utilisé les maths dans le monde pratique, vous n’ignorez pas que les formules mathématiques ne sont que des modèles qui approximent la réalité dans un intervalle plus ou moins grand autour de l’observateur. Il faut beaucoup de chance pour ne pas sortir de cet intervalle, et si la courbe exponentielle est celle des ventes de votre société, je vous garantis que vous n’aurez pas cette chance pendant 40 ans !

        • désolé pour l’utilisation des signes mathématiques, exp(x-T) pour x inférieur à T, 2-exp(T-x) pour x supérieur ou égal à T.

          • @ MichelO
            Très aimable à vous de m’avoir expliqué: Merci. Mais je crois que j’avais compris: vous êtes sans doute d’accord que ce sont les réalités qui transforment l’exponentielle en asymptote (ou une autre fonction/autre courbe), pas les math’s.

            C’est ce qui ridiculise le problème avec les réfugiés/migrants: dans ce cas-là non plus, la croissance du groupe ne sera pas mathématique à chaque intervalle de temps ni de façon infinie. Dans mon domaine (médical), oui, les « vérités » concrètes sont « statistiques », « jamais » absolues, donc les math’s, trop « précises », ne sont pas respectées mais c’est une « aide » et une « approximation », une « expression » accessoire, pas la seule et unique « vérité ». « On fait ce qu’on peut! »

  • Effectivement, personnellmeent, je ne vois aucun souci à mettre un tel problème de mathématiques dans le cadre de ce que les enfants voient tous les jours à la télé ou plutôt sur leurs smartphones.
    Faut arrêter la suceptibilité de vierges effarouchées qui nous polluent la vie.
    En revanche, si les élèves savaient vraiment ce qu’est une suite géométrique, on aurait fait un grand pas en avant. Actuellement le taux de compréhension est de 1% ou 0,1%?

    • @ Gerald555
      La dictature du politiquement correct est évidemment agaçante mais elle est devenue la « vertu » sur les réseaux sociaux en diminuant la tolérance, le 2d degré et autres fantaisies devenues prohibées: c’est évidemment moins de liberté de pensée et d’expression. Donc gaffe à ce que vous dites sur la toile!

  • Les exemples cités ci-dessus ont effectivement un double but : l’exercice mathématique, louable, et la dissémination d’une perversité cachée (parfois à peine cachée). On oublie que les lois exponentielles peuvent avoir une raison très proche de un (ou inférieure à un) ; il en est ainsi de nos livrets d’épargne. On voit bien qu’ils n’enrichissent pas leurs propriétaires. On pourrait pourtant citer ces cas en exemple. Il faut rappeler que toutes les lois de croissance biologique sont exponentielles dans leur phase de démarrage et que la courbe se transforme, comme le rappelle un des intervenants précédents en courbe en S dès que le milieu devient limitant. Si les mouches continuaient à se multiplier selon la raison 100 pour 1, la terre entière serait transformée en mouches en peu de mois. On peut aussi citer le cas de la pyrale du buis : quand s’arrêtera la progression? Les professeurs de mathématiques devraient être assez bons pour rester objectifs et choisir leurs exercices hors des manuels à double finalité.

    • Vous oubliez de dire que si on effet les arbres ne montent pas au ciel et que les mouches ne sont pas partout c est qu il y a une regulation.
      Et en effet celle ci va se passer pour la population humaine. Ca a deja eut lieu dans le passé. Mais franchement vous ne trouvez pas qu on devrait essayer de faire mieux qu une regulation par guerres et epidemies comme au moyen age ?
      Surtout que le genie humain a concu des moyens qui risquent d exterminer toute vie sur terre en cas de guerre (nucleaire , bateriologique et chimique)

  • Mais cela ne va pas du tout, enfin ! Ces migrants ne fuient pas la guerre, mais le terrrrrrible réchauffement climatique anthropique, comme nous l’ont fort bien expliqué, notamment, notre très compétent Ministre de l’Environnement et notre cher Président (qui ne l’est pas moins). Eux savent de quoi ils parlent, non mais ! Celui qui a pondu ce problème déviationniste risque d’être sévèrement puni pour crime de propagande climato-scepticisme notoire… Si maintenant notre Education Nationale se met à propager des idées climato-sceptiques, comment nos chères petites têtes blondes pourraient-elles devenir de dociles petits réchauffistes et nous donner plus tard, dans la joie et la bonne humeur, sans rechigner, tous leurs gros sous ? Nos gouvernants vont devoir y faire le ménage, et virer les affreux déviationnistes qui ne propagent plus le dogme de la Très Sainte Eglise Réchauffiste…, Un peu comme Trump le fait à l’EPA, mais dans le sens inverse…

  • Je pense que le problème n’était ps mathématique. Mais il ne faut pas heurter la sensibilité boboïde parisienne, qui préfère ne pas voir que le 93 commence à déborder sur Paris.

  • Je suis surpris qu un tel exercice ait pu passer les fourches caudines de la censure bien pensante. Personellement quand j etais gamin j avais eut un exercie similaire avec un echiquier ou a chaque case on doublait la mise (un grain d eriz pour la prmeire case, 2 pour la seconde , 4 pour la 3eme …). Franchement, je trouve l exercice actuel probablement plus parlant

    Sur le probleme demographique qui semble procuper notre auteur, il faut etre clair : l accroissement de la population en afrique est une catastrophe. Ces pays n ont aucune chance de se developper avec une telle natalite vu que le peu de ressource va etre absorbe a essayer de former les multiples enfants qui plus tard vont avoir le choix entre chomage, emigration, rebellion. Si la chine a explosé c est aussi car Den a mit en place la politique de l enfant unique (via la maniere forte certes)

    Malthus avait certes eut tord: il n avait pas prevu les progres dans l agriculture et le fait que le trop plein europeen c est deversé en amerique.
    Mais qu en est il actuellement ?

    Y a t il des progres majeur en vu qui permettront non seulement de nourrir mais aussi d offrir une vie décente à tous ces gens ? pas evident. Perso je ne vois pas (les OGM semble etre plus un probleme qu une solution, l agriculture de type FNSEA arrive a ses limite avec une pollution majeure et le suicide des paysans et avec l arrivee de l IA+robotique on a plus besoin de bras)
    Y a t il une terre quasi vide ou ils pourront s installer (si je suis mechant je dirais oui vu que l europe est en declin demographique mais contrairement aux indiens ils sont en etat de se defendre)

    • psssss,
      trouver le moyen de dire « agriculture type FNSEA arrive à ses limites » dans ce post confine à l’obsession. Idem pour vos commentaires sur les OGM (vous avez oublié Monsanto).
      Pour l’agriculture, voyagez un peu et vous verrez que dans la majorité des pays, c’est la logique économique qui prime. sans doute y verrez vous également une « vision FNSEA »?

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