La retraite par répartition est un système de Ponzi, la preuve mathématique

Publié Par Acrithene, le dans Retraites

Cet article propose une preuve mathématique que le système de retraite par répartition est une chaîne de Ponzi, c’est-à-dire qu’il relève du même procédé financier que l’arnaque de B. Madoff. 

Par Acrithène.

À quelques occasions, je vous ai indiqué que la retraite par répartition était une chaîne de Ponzi, et que ce fait relevait des mathématiques et donc dépassait toute analyse sur la conjoncture ou la démographie. C’est-à-dire qu’un mathématicien dans sa tour d’ivoire, ne connaissant strictement rien au monde extérieur, pouvait dès le début montrer que ce système était impossible, et ce hors de toute considération concrète. Et d’ailleurs, les économistes le savaient.

J’imagine que certains de mes lecteurs sont déjà sceptiques quant à l’usage des mathématiques en économie sans considérations pour le concret. Je leur répondrais que quelque chose qui respecte les mathématiques n’est pas nécessairement réel (et donc ni digne d’intérêt). En revanche, quelque chose qui ne respecte pas les mathématiques ne peut tout simplement pas être réel.

Valeur future et valeur présente

Pour comprendre ma démonstration, il est nécessaire de comprendre ce qu’est une valeur future, et réciproquement une valeur présente. La valeur dans un an d’un euro aujourd’hui, correspond au nombre d’euros que vous obtiendriez en échangeant votre euro d’aujourd’hui. Concrètement, vous donneriez un euro aujourd’hui, et recevriez une somme dans un an. La différence entre les deux est définie par le taux d’intérêt, i, sur la période. Ainsi :

Cela signifie que si vous renoncez à consommer 1€ tout de suite, vous libérez un pouvoir d’achat un peu plus grand que 1€ dans un an.

Et inversement

Ce qui implique que si vous renoncez à dépenser 1€ dans un an, cela vous permet de dépenser un peu moins de 1€ en plus aujourd’hui.

De même, si vous aviez échangé des euros actuels, contre des euros de dans t périodes, vous auriez dû composer les intérêts, pour réaliser le même type de raisonnement. Vous auriez :

Par transfert de pouvoir d’achat du présent vers le futur :

et, du futur vers le présent :

Ainsi la valeur actuelle d’une dépense à une période t, est égale à :

Ce qui signifie que si vous placez cette somme aujourd’hui sur un compte en banque, vous aurez à la période t exactement le montant nécessaire pour réaliser votre dépense D_t

Ce raisonnement permet d’établir la « contrainte budgétaire intertemporelle » d’un agent économique.

Cette contrainte traduit le fait qu’à une période t, vous n’êtes pas obligé d’équilibrer vos dépenses (D_t ) et vos revenus (R_t ), car vous pouvez par l’épargne déplacer vos revenus présents vers le futur (avec le gain d’un taux d’intérêt) ou déplacer des revenus futurs vers le présent par l’emprunt (avec la perte du taux d’intérêt).

Vous respectez votre contrainte budgétaire intertemporelle si la valeur actuelle de vos dépenses présentes et futures est inférieure ou égale à la valeur actuelle de vos revenus présents et futurs. C’est la condition de votre solvabilité à long terme.

La retraite par répartition

La condition de solvabilité

Dans les modèles macroéconomiques, la contrainte budgétaire intertemporelle a un nom croustillant. On l’appelle « no ponzi game condition ». Dans le cas de la retraite par répartition, cette condition s’écrit :

C’est-à-dire que la valeur présente de l’ensemble des cotisations présentes et futures C_t  couvre la valeur présente de l’ensemble des pensions présentes et futures P_t . Cela autorise le système à être parfois en déficit (et donc de perdre le paiement d’intérêts sur une dette) et parfois à constituer des réserves (et donc de dégager du rendement sur leur placement). Mais si cette condition n’est pas remplie, le système n’est pas financièrement stable, c’est alors un ponzi qui a besoin d’apports extérieurs pour survivre.

Les financiers connaissent quant à eux ces sommes sous les termes « somme des flux actualisés » ou, en anglais, « discounted cash flows ».

Preuve du Ponzi

Démontrons désormais qu’il s’agit effectivement d’un Ponzi.

Le système par répartition prétend donner un meilleur rendement que l’épargne (sans quoi il n’a aucun intérêt, vu qu’il suffirait d’épargner les cotisations). Si on note r le rendement de la répartition, et que nous rappelons que iest le taux d’intérêt sur l’épargne, on a donc :

D’où :

Ce qui signifie qu’il a été plus profitable à la période t-1 de placer ses cotisations dans le système par répartition que de les épargner. Par ailleurs, par définition du rendement r du système par répartition, on a :

C’est-à-dire que la différence entre ce que touchent les retraités en pension en t et ce qu’ils avaient versé en cotisations en t-1 est expliqué par le rendement du système. Si le système est favorable à chaque génération, on a donc

Ce qui implique :

Donc par sommation sur toutes les générations cotisantes, on obtient :
En simplifiant la somme de gauche, on déduit :
Et enfin, par changement de variable sur la somme de gauche, on a :
Or on sait que les premiers pensionnés ont reçu une pension positive, c’est-à-dire :
Donc on obtient une inégalité stricte en ajoutant P_0  à droite :
En réintroduisant les premières pensions dans la somme, on obtient finalement :

C’est-à-dire une relation qui ne respecte pas la « no ponzi game condition ». La valeur actuelle des recettes est inférieure à celle des dépenses.

Concrètement, que cela veut-il dire ? Cela signifie qu’il est impossible que le système délivre un rendement strictement supérieur au taux d’intérêt pour chaque génération. Cela implique aussi, que si une génération a obtenu du système un rendement supérieur à celui de l’épargne, au moins une autre génération obtiendra un rendement inférieur à l’épargne. Il s’agit, vis-à-vis de l’épargne, d’un jeu à somme nulle. Cela signifie que si une génération a bénéficié du système, une autre sera nécessairement perdante. Or, ceci est toujours le cas, car à l’initialisation d’un système par répartition, une génération reçoit la première des pensions, sans avoir versé de cotisations auparavant (vu que le système n’existait pas) : elle obtient donc un rendement infini.

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    1. il suffit en effet d’écrire n’importe quoi (fusse t il juste parce que ultra simpliste et raccourcis à l’extrême) et d’y mettre une étiquette pour que cela existe à présent.

      Mais cela ne veut pas dire que c’est exact dans la réalité. La réalité elle n’est pas si simple (malheureusement) et ne se contente pas d’étiquetage (au pire… les ménages abrutis par la pub, trop souvent, s’en contentent par habitude et à force de harcèlement… mais c’est plutôt tragique et en rien un exemple à suivre).

      En gros, si l’utilisation des maths comme outil se limitait uniquement à des démos simplistes de bas niveau (comme par exemple de dire que l’extraction d’une racine carré d’un nombre réel négatif est impossible), elle serait inutile et ne permettrait pas de décrire la réalité plus précisément (parce que, heureusement, d’autres ont su aller plus loin et intégrer d’autres concepts tenant compte de la réalité pour démontrer qu’en fait, une racine carré d’un nombre négatif est possible…).
      Le danger dans ce genre de petite démo, c’est de ne pas être suffisamment instruit et de ne pas être scientifique dans l’âme et de facto, de ne pas voir que la réalité est plus complexe parce qu’elle intègre de très nombreux autres paramètres. Bien sûr… cela suffit à épater un auditoire jamais vide (par la force de la probabilité) et faire suivre des troupeaux ébahis.

      C’est si naturel finalement (et prévisible), qu’il vaut mieux en rire.
      Cependant, je comprends tout à fait la démarche de l’auteur qui consiste à vouloir se libérer d’un système pas si juste pour tous et de plus en plus oppressif et abrutissant.

  1. En investissant l’argent ce serais possible mais il faudrait également tenir compte de l’inflation. Le jeu mathématique deviendrait plus intéressant. A partir de quel benef peut on espérer que la machine fonctionne ?
    En fait je parle de Fond Souverain… impossible en pays communiste

  2. Bon article, mais il s’agit d’un raisonnement en système fermé (l’Etat comble régulièrement les trous). Il est de plus difficile de parler de rendement du système par répartition, où tout du moins celui-ci n’a pas le même sens que dans l’épargne individuelle.

    Sinon
    « Dans les modèles macroéconomiques, la contrainte budgétaire intertemporelle a un nom croustillant. On l’appelle « no ponzi game condition ». »
    C’est une condition nécessaire mais pas suffisante. L’inégalité doit être vérifiée pour une somme de 1 à n, quelque soit n.

    « Le système par répartition prétend donner un meilleur rendement que l’épargne (sans quoi il n’a aucun intérêt, vu qu’il suffirait d’épargner les cotisations). »
    Il a l’avantage de pouvoir être mis en place immédiatement et permet aussi une redistribution selon les desideratas politiques.

  3. Il me semble que sans l’inflation cette modélisation n’a aucun sens.

    Elle cherche juste à justifier une opinion qui est que la capitalisation vaut mieux que la répartition.

    Le système par répartition n’a pas été mis en place par hasard, c’est parce que le système par capitalisation précédent était catastrophique sur le plan social.
    Être libéral signifie-t-il toujours être égoïste et individualiste? J’espère que non.

    1. Vous pêchez encore une fois par ignorance. La retraite par répartition a été mise en place quand Pétain a spoilé l’épargne durant la seconde guerre mondiale, en échange d’une garantie de revenue de vieillesse.
      Qu’avez vous contre l’individualisme ? Vous n’êtes pas la personne la plus importante à vos yeux ?

      1. fergunil ,

        Exact , la retraite par répartition de Pétain ou retraite des vieux travailleurs , mise en place par un membre de la CGT , n’a pu fonctionner qu’en ponctionnant et vidant les réserves des caisses de retraite par capitalisation , qui avait été mise en place en 1930 , car , ne l’oublions pas , à la mise en place de la répartition , il n’y avait pas un sou en caisse !!!

      2. Fergunil, penser qu’on est pour soi même la personne la plus importante n’est pas la définition du mot individualiste… mais une forme avéré de nombrilisme (ce qui est encore plus grave socialement).
        De plus, l’humain est un animal de société… en fait, plus il est doué d’intelligence et plus il en est apte.

        Est ce que votre commentaire serait un aveu inconsciente d’une limitation intellectuelle et sociale de vôtre personne (petite de facto) ?

        Accumuler est une chose, comprendre en est une autre moins évidente pour certains. C’est regrettable (bien plus encore pour ceux qui subissent les incapacités sociales des autres) mais c’est ainsi.

  4. « Le système par répartition prétend donner un meilleur rendement que l’épargne »
    NON
    Jamais je n’ai entendu cet argument de la part d’un zélateur du système. D’ailleurs en général ces gens vomissent « rendement » et « épargne » ; ils ne jurent que par la « solidarité » et la « gestion collective et démocratique ».

    Un système par répartition n’est pas un Ponzi en soi. Il le devient en pratique de la même façon qu’un système par capitalisation (qui n’est pas non plus un Ponzi par nature) peut cacher un Ponzi : sous l’effet de la magie du verbe d’un ou plusieurs escrocs.

    1. Il faudrait faire attention à ne pas confondre les zélateurs de la télévision et des forums avec ceux qui ont réellement de l’importance.

      Si la répartition a un rendement inférieure à l’épargne, elle ne présente aucun intérêt économique, ni social (vu que la redistribution est tout à fait possible dans un système par capitalisation)

      1. Un actuaire réputé, Jean-Jacques Gollier, démontre brillament que la cotisation d’un régime par répartition n’est qu’un impôt et pas autre chose.

  5. Vous raisonnez en système fermé et sans prendre en compte les réactions des autres acteurs, la croissance, la démographie, et les variations réglementaires. C’est du travail de sagouin.

    1. Ce n’est pas parce que vous êtes nul en maths qu’il faut parler de travail de sagouin.

      Les pensions et cotisations sont indicées, elles sont donc totalement variables et incluent la croissance, la démographie et les variations réglementaires, et même n’importe quelle source de variation que vous pouvez imaginer.

  6. Il y a un petit différent tout de même. Je me rappelle quand mes parents ne payaient pas de cotisations sociales, ni pour la retraite, ni pour les accidents, ni pour la maladie. L’Etat les a obligé à cotiser sans avoir droit, ils devaient d’abord constituer un pécule avant d’avoir droit aux remboursements et à la retraite. C’était au départ un sorte de capitalisation qui est devenue une répartition. Dès le départ il y avait donc tromperie ! Les assurances sociales obligatoires ont été fondée sur une capitalisation étatique qui a disparue, où est passé le capital ?
    Jean-Marie BRUTY

  7. Depuis quand les responsables de la répartition de la misère savent compter ? Je me souviens dans les années 80, l’AGIRC proposait aux cédants d’entreprise de passer le taux de 8 à 16% et en compensation le cédant se voyait attribuer 75% des points qu’il aurait acquis s’il avait cotisé dès l’origine à 16% ! Un client me demandait ce que j’en pensais ? « Il faudrait être con pour passer à côté ! » l’inconvénient est que le repreneur était tenu d’accepter les 16 sans pouvoir revenir en arrière et rapidement les travsactions tenaient compte du taux Agirc, taux 16, négociation du prix à la baisse. C’est ainsi que dans les années 90 le taux est passé à 16 OBLIGATOIRE pour tout le monde. Il faudrait s’amuser à faire l’historique de l’Agirc, récup des cadres sup, des cadres banques etc… et on s’apercevrait, on se douterait de la faillite de ce ce régime depuis belle lurette et que depuis les années 70 il n’a été utilisé que des rustines. A cette époque, ce régime se gaussait d’avoir 30 ans de prestations d’avance, c’est à dire payer les retraites sans cotisations. Quand je pense que je me suis fait allumer par l’Agirc car j’avais écrit dans les années 80 que ce régime ne pouvait connaître que la faillite, j’étais un vil menteur mercantile pour vendre mes contrats…

  8. Loin de moi l’idée de m’en prendre au contenu de cette démonstration brillante mais votre dernier paragraphe y suffisait entièrement même pour un ex-taupin en math sup. Par ailleurs, je suis quelque peu surpris que vous vous efforciez de montrer la supériorité financière de l’épargne sur notre système de retraite ketoulemondnouzenvi car je n’ai jamais été confronté à qui que ce soit convaincu du contraire… le seul argument dont disposent et abusent ses partisans concerne la redistribution des richesses en elle-même.

    1. Je suis bien de votre avis. Sur mon blog beaucoup de gens contestaient le fait qu’il s’agisse d’une chaîne de ponzi. J’ai écrit ce billet pour ramener le système à ce que les macroéonomistes appellent un ponzi game. C’était sans grande prétention.

          1. C’est ce point là qui devrait être développé parce qu’il n’est pas du tout évident pour un non-financier. Je ne comprends même pas comment une répartition pourrait générer un rendement. Et qu’aurait-on dû faire pour la génération zéro ? emprunter pour payer leur pension ?

          2. Gardons bien à l’esprit que la retraite par répartition est une création politique, si bien qu’elle s’impose par la force aux citoyens.
            Un système qui n’a aucun intérêt pour les simples citoyens peut en revanche en avoir provisoirement un pour les hommes politiques, dont le mot d’ordre a toujours été « après moi le déluge ».

          3. @pasm
            Si l’épargne rapporte plus, à chaque période, que la répartition, un « arbitrage » simple (que l’Etat mettrait surement en place) serait de récupérer les cotisations sur une période, les placer, payer les rentes avec et garder la différence qui continuerait à s’accumuler sur un compte.
            On aurait ainsi une fausse répartition, générant du surplus à chaque période.

            Mais fondamentalement, l’inégalité est impossible « en continu » dans ce sens (dominance stochastique). La raison en est que le rendement supposé de la retraite par répartition est aligné sur la croissance de l’économie en général, et même de façon plus restrictive encore, sur le revenu disponible des agents. Il s’agit d’une valeur très peu risquée (il y a diversification entre tous les agents), donc le taux est très faible. Par contre, le taux de rendement de l’épargne (particulièrement si elle est placé dans des titres « risqués » -actions, obligations « corporate », même) contient une prime de risque. Sans que le risque soit significativement plus fort puisqu’on parle d’une retraite donc d’horizons très longs et d’une diversification à la fois temporelle et transversale.

  9. L’escroquerie de l’AGIRC est bien plus avérée que vous semblez le penser. 1) les cotisations obligatoires et énormes me privent de ma liberté civile de choix et de capacité d’investissement. 2) Elle vous vend très chère une promesse d’assurer vos revenus, cette promesse est basée sur l’acceptation des générations suivantes de vous entretenir au motif fallacieux de la solidarité. 3) Cette promesse n’est pas tenue depuis très longtemps puisqu’elle appelle pudiquement une « cotisation d’équilibre » pour rééquilibrer le déséquilibre ! 4) Elle annonce des « réserves » alors qu’elle ne devrait pas en avoir sauf en escroquant un peu plus le cotisant. Si elle a des excédents, ils devraient bénéficier aux cotisants puisque la promesse aux prestataires est tenue. 4) Elle déclare la guerre aux chaumières car elle achète des châteaux ! Faut oser quand même avec les cotisations destinées aux pensionnés ! 5) Où passent les bénéfices techniques des cadres sup expat en tranche C qui ne liquident jamais leur régime ? Elle se retranche derrière un taux de mortalité exceptionnel des cadres à 65 ans, certainement. La situation financière de l’AGIRC est beaucoup plus dramatique que ce qu’elle annonce et ce que nous pouvons en penser. Quand aurons-nous un dossier sur la table ?

  10. Effectivement « il est impossible que le système délivre un rendement strictement supérieur au taux d’intérêt pour chaque génération »

    Le problème étant que le système par répartition n’a pas pour vocation première de « donner un meilleur rendement que l’épargne » mais de donner à tous une pension décente.

    Il s’agit de partage, de répartition des richesses, de soutien inter-générationnelle et non de rentabilité (bref, le sujet est politique avant d’être mathématique)

    1. Encore une remarque idiote (avec David, on tient un spécialiste) ! Si vous parveniez à mobiliser votre cerveau, vous comprendriez que la pension moyenne versée par le système par répartition n’a rien de décente, contrairement à la capitalisation. C’est précisément parce que vous et vos complices socialistes en faites un sujet politique, par idéologie anti rentabilité, par dogmatisme égalitariste, que vous appauvrissez sciemment non seulement les retraités mais également les plus jeunes réduits en esclavage du système par répartition. Deux crimes en un issus de la même idéologie socialiste !

  11. mouais…

    Beaucoup d’approximation dans ce modèle très simpliste.
    Entre autres :
    - Non prise en compte de l’inflation
    - Non prise en compte du risque
    => Depuis quand est-il possible d’épargner 500 000€ (20 ans de retraite à 2000€/mois) sur une période de 42 ans à un taux d’intérêt élevé et fixe sans aucun risque?

    Le système décrit n’est pas le système réel donc ok cela peut être comparé à un système de Ponzi. Et alors ?

    De plus des arguments sont faux.
    Vous dites que si le système par répartition a un rendement inférieur au système par capitalisation, alors il n’a aucun intérêt.
    Or il n’y a pas que le rendement à considérer, il y a le risque aussi !!!
    Si c’est un système avec un moins grand rendement mais avec un moins grand risque, il a de l’intérêt !

    Bref pour moi cette démonstration n’a aucune valeur !

    1. Justement, les risques du système par répartition, on est en plein dedans : réduction du nombre de cotisants, arbitraire de l’état, négation de l’individu …

      1. http://www.lefigaro.fr/societes/2013/02/12/20005-20130212ARTFIG00367-les-fonds-de-pension-anglo-saxons-fragilises-par-la-crise.php

        Peut-on réellement dire que le système par répartition est plus risqué que le système par capitalisation?
        Si on veut vraiment comparer proprement les deux systèmes, il faudrait donc comparer le rendement, le risque, mais aussi la répartition du rendement, et la répartition du risque des deux systèmes.
        Qui bénéficie du meilleur rendement, qui supporte le plus gros risque?
        Là sont les vraies questions à se poser.

  12. La démonstration tient compte de trop peu de chose pour être réellement validable.
    Je pense pour ma part que dans un système économique mondial tel qu’il existe, c’est encore pire que cela ne parait dans la petite démo.

    En fait… un système social demande mondialement:
    1 une cohérence économique avec des règles morales (des gardes fous… ce qui n’est pas le cas)
    2 une réelle transparence accessible de tous (ce n’est pas non plus le cas)
    3 une population évoluée (donc instruite), consciente et responsable (ce n’est pas le cas d’une part, et aucun système appartenant à cette économie débridée ne semble s’enrichir sur l’instruction, mais plutôt sur le voyeurisme et le harcèlement publicitaire… et maintient sa légitimité par l’influence de l’opinion publique par le biais d’une propagande hypocrite et une couverture médiatique basé sur les faits divers et le média/tabloïds)
    4 un moyen médiatique d’informations qui ne soit pas privé ni partisan, ni en conflits d’intérêts (ce qui n’est mondialement que trop rarement le cas)
    etc…

    bref… le socialisme c’est compliqué et visiblement inaccessible aux populations imbéciles ou abrutis, ni même inconcevable par des esprits binaires ou « nombrilistes » (fussent-ils sur-protégés et rentiers ou héritant d’une situation plus qu’aisée, car l’argent n’apporte pas plus de neurones malheureusement).
    Comme la viole,ce n’attire que la violence, le capitalisme n’attire que le capitalisme (cercle vicieux, spirale chaotique).
    Il y a cependant toujours des solutions (une infinité probablement), mais cela ne profiterait pas à ceux qui se gavent d’une situation chaotique et qui profitent allègrement des faiblesses et des imbéciles sans aucun scrupule. De plus, les majorités (imbéciles pour la plupart) ne sauraient se défendre et les mettre en place (puisqu’ils sont sous l’influence de quelques prédateurs qui détiennent un pouvoir d’influence, héritiers pour la plupart d’un état d’esprit directement issue des colonies et de l’exploitation des masses).

    Il faudra donc attendre encore longtemps (si cela est supportable techniquement) que ceux qui ont le pouvoir d’influence et de corruption (une infime partie de l’humanité qui ne subie pas la force de la sélection naturelle…) évoluent intellectuellement et moralement, ou une catastrophe mondiale sans précédent qui remette les pendules à l’heure en changeant ce qui semble être critère de sélection sociale décisif: le pouvoir de l’argent. Je pense que ça risque de prendre beaucoup de temps.

  13. Ping : Réformer le Luxembourg : une feuille de route | gold is money

  14. La démonstration mathématique est imparable, même si cela en dérange quelques uns!
    La simple logique met en évidence que le système dit « par répartition » obéit totalement au schéma de Ponzi. Quelles sont les caractéristiques de ce schéma:
    1) Distribuer aux uns (first in) ce que versent les autres (last out)
    2) Faire en sorte d’agrandir régulièrement la base de versement
    Le système par répartition répond complètement à cette définition. En effet les pensions versées à ceux qui précèdent ne le sont que grâce aux versements de ceux qui suivent…….
    Dès que la base de versement diminue, le système tousse, puis explose en vol.
    Causes de diminution de la base de versement:
    - Baisse de la démographie,
    - Baisse de l’activité économique ( pas d’emploi, pas de cotisation!),
    - Robotisation, informatisation, automatisation. Toutes ces techniques se traduisent par des investissements, mais suppriment en contre-partie des emplois. Or ces sont bien les cotisations sur les masses salariales qui abondent les fonds de pension.

    La démonstration mathématiques vient compléter et qualifier ce que le seul bon sens met en évidence!
    Mais bien sûr il ne faut pas trop parler de tout cela … c’est tout le système des retraites qui s’écroulerait!