Votre cerveau vous trompe ! le paradoxe de Monty Hall

Lobes du cerveau (Crédits : Allan Ajifo, licence CC-BY 2.0), via http://aboutmodafinil.com/ Flickr

Le paradoxe de Monty Hall est une énigme curieuse soulevée par le statisticien américain Steve Selvin en 1975.

Par Le Minarchiste, depuis Montréal, Québec.

Lobes du cerveau (Crédits : Allan Ajifo, licence CC-BY 2.0), via http://aboutmodafinil.com/ Flickr
Lobes du cerveau (Crédits : Allan Ajifo, licence CC-BY 2.0), via http://aboutmodafinil.com/ Flickr

Comme l’expliquait si bien Dan Gardner dans son excellent livre Risk, l’humain est aveugle aux probabilités, c’est-à-dire que nous avons beaucoup de difficulté à évaluer les événements incertains. Les humains utilisent des raccourcis mentaux et des « règles du pouce » pour prendre des décisions plus rapidement, même si cela mène souvent à commettre des erreurs.

Le paradoxe de Monty Hall est une énigme soulevée par le statisticien américain Steve Selvin en 1975. Monty Hall était l’animateur de la populaire émission « Let’s Make a Deal  », qui démarra aux États-Unis en 1963.

Supposons que Monty Hall vous place devant trois portes, derrière lesquelles il y a une voiture et deux chèvres. Si vous réussissez à deviner la porte derrière laquelle se cache la voiture, vous remportez ce prix.

  • Il vous demande d’abord de choisir l’une des trois portes (supposons que vous choisissiez la porte numéro 1).
  • Puis, Monty Hall ouvre l’une des deux autres portes derrière laquelle il sait qu’il y a une chèvre (disons la porte numéro 2).
  • Finalement, il vous demande si vous désirez modifier votre choix.

Devriez-vous conserver votre choix ou changer pour la porte numéro 3 ?

Monty1

Pensez-y quelques instants…

Il ne reste que deux portes… donc il y a une probabilité de 50% que la voiture soit derrière l’une ou l’autre, n’est-ce pas ? Conséquemment, vous devriez être indifférent entre la porte numéro 1 et la porte numéro 3… Vous décidez donc de ne pas changer votre choix…

Est-ce la bonne réponse ?

Non ! Votre cerveau a été déjoué ! Vous auriez dû saisir l’opportunité de choisir la porte numéro 3 !

Et ce qui est encore plus paradoxal est que si votre choix initial avait été la porte numéro 3, vous auriez dû changer pour la numéro 1 lorsque Monty Hall vous en a donné l’opportunité !

Vous ne me croyez pas ? Voici le raisonnement.

Lors de votre choix initial, chaque porte a une probabilité de 33% de dissimuler la voiture, vous êtes donc indifférent entre les trois portes.

Cependant, lorsque Monty Hall vous révèle que la voiture n’est pas derrière la porte numéro 2, vous disposez d’une nouvelle information qui doit être prise en compte dans les probabilités.

Suite à votre choix initial, vous serez d’accord avec moi que la voiture a 33% de chance d’être derrière la porte numéro 1 que vous avez choisie et 67% de chances d’être derrière l’une des deux autres portes. Cependant, une fois que la porte numéro 2 est éliminée, cela signifie que la voiture a 67% de chance d’être derrière la porte numéro 3 ! Vous devriez donc choisir cette porte puisqu’elle a deux fois plus de chances de cacher la voiture !

Monty3

Beaucoup de gens choisissent pourtant de ne pas modifier leur choix, souvent à cause de l’aversion à la dépossession et au biais de statu quo, mais aussi simplement parce que les gens sont aveugles face aux probabilités.

Vous ne me croyez pas ? Vous pensez que ce ne sont que des conjectures mathématiques qui n’ont aucun lien avec le monde réel ?

Et bien faîtes le test vous-mêmes avec un jeu de carte ou encore mieux, avec une simulation Monte Carlo. Vous verrez que la stratégie consistant à changer son choix gagne deux fois plus souvent que celle consistant à conserver son choix initial!

Monty4

Autres exemples

Supposons que la foudre a un risque sur 30 de frapper dans votre ville une journée donnée et que cette probabilité ne change pas d’une journée à l’autre, peu importe ce qu’il arrive.

  • Disons que la foudre a frappé votre ville le 1er avril.
  • Vous vous demandez quand la foudre frappera la prochaine fois.
  • Est-il plus probable que la foudre frappe à nouveau le 2 avril, le 4 avril, le 10 avril ou le 1er mai ?

La réponse est évidemment le 2 avril, dont la probabilité est 1/30 ou 3,33%.

Pour que la prochaine foudre frappe le 4 avril, il faudrait d’abord qu’elle ne frappe pas le 2, ni le 3.

La probabilité que la foudre ne frappe pas le 2 avril est de 29/30, même chose pour le 3 avril.

Donc :

29/30 x 29/30 x 1/30 = 3,11%

Beaucoup de gens répondent le 1er mai, alors que la probabilité n’est plus que de 1,20%. Ce phénomène peut être décrit pas une loi de Poisson, que le cerveau humain a beaucoup de mal à traiter.

La plupart des gens ont de la difficulté à croire que si 57 personnes se trouvent dans la même pièce, la probabilité que deux d’entre elles aient la même date de naissance est de 99% !

Monty5

Beaucoup de gens croient dur comme fer qu’au Loto 6/49, la séquence 1-2-3-4-5-6 est moins probable que disons 3-12-21-28-35-47. Pourtant, beaucoup de personnes achètent un billet avec 1-2-3-4-5-6 en se disant, avec raison, qu’un jour, cette combinaison sortira… mais le gain sera faible puisqu’il sera divisé par un nombre record de gagnants.

En revanche, beaucoup pensent que si le chiffre 49 n’est pas sorti depuis 10 tirages, ses chances de sortir au prochain tirage sont plus élevées. C’est évidemment faux, exemple flagrant de l’erreur du parieur.

Supposons que l’on joue à pile ou face, selon vous laquelle de ces deux séquences est réelle et laquelle est fictive (P=pile, F=face) :

1)  PPFFPFPPPP          ou        2)  FPFPPFPFFP

La séquence numéro 1 est typique d’un événement aléatoire (même si elle comprend 4 piles consécutifs), alors que la séquence numéro 2 est fictive. Il est normal d’avoir des séquences de 4 piles, et cela ne signifie pas que le lancer suivant a plus de chance de tomber sur face. En revanche, les séquences parfaitement équilibrées comme la séquence numéro 2 sont plutôt rares.

Conclusion

Sans vouloir me vanter, je ne me fais pratiquement jamais berner par ces paradoxes et biais cognitifs. Cela fait partie de mon travail et j’ai été formé pour cela, ce qui n’est pas le cas de la majorité de la population. Cependant, je dois avouer qu’il m’a fallu réfléchir plusieurs minutes avant de bien saisir le problème Monty Hall. Néanmoins, même les gens éduqués, inclus des mathématiciens, se font initialement duper par ce problème ; ce n’est pas tant une question d’intelligence. Seulement 13% des gens décident de changer leur choix de porte !

Je trouve ces petits paradoxes mathématiques fascinants, car ils nous montrent à quel point le cerveau humain est vulnérable étant donné sa propension à prendre des raccourcis qui mènent souvent à un ravin.

L’être humain est définitivement irrationnel, tel que démontré hors de tout doute par, entre autres, Daniel Kahneman et Amos Tversky, et cela est en partie attribuable à son incapacité à bien évaluer les probabilités.

Dans ce contexte, il est peu surprenant que la population soit si sympathique aux idées politiques populistes telles que le salaire minimum à $15, le protectionnisme ou encore les subventions…

Pour en savoir plus :

Wikipedia : Problème de Monty Hall

Sur le web