L’hypothèse du modèle actuariel

Au cœur même de la mécanique financière, un nombre appréciable de spécialistes semblent confondre deux notions absolument fondamentales.

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L’hypothèse du modèle actuariel

Publié le 14 mai 2015
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Par Guillaume Nicoulaud.

Finance (Crédits : Pixabay, licence Creative Commons)
Finance (Crédits : Pixabay, licence Creative Commons)

 

Le modèle actuariel, si j’en crois la rumeur, poserait implicitement l’hypothèse selon laquelle les flux de revenus intermédiaires des produits financiers que nous valorisons devraient être réinvestis à taux constant. Le cas peut sembler un brin technique à ceux qui ne manipulent pas ces objets fréquemment mais il est tout à fait extraordinaire en ce sens qu’au cœur même de la mécanique financière, un nombre appréciable de spécialistes semblent confondre deux notions absolument fondamentales.

Commençons par le commencement et rappelons tout d’abord que la méthode dite des intérêts composés n’a jamais eu vocation à décrire un actif financier dans le monde réel. Ce que décrit cette méthode c’est ce que les mathématiciens appellent une croissance exponentielle ou géométrique ; c’est-à-dire la croissance de quelque chose qui croît à un rythme constant et positif — en l’espèce, il est question de la valeur acquise d’un capital placé à un taux d’intérêt fixe et capitalisé régulièrement mais la même méthode pourrait tout aussi bien décrire la prolifération d’une population de bactéries : c’est un outil conceptuel et l’hypothèse, bien réelle, de réinvestissement à taux constant n’a jamais été autre chose que la traduction en termes financiers d’un concept mathématique.

Nous savons que le processus décrit par la méthode des intérêts composés est sensible à la fréquence de capitalisation desdits intérêts : plus la fréquence est élevée — plus le laps de temps entre deux paiements et donc deux réinvestissements est court — plus la valeur acquise par notre capital théorique dans le futur sera élevée. À titre d’illustration, un capital de 100 euros placé à 10% pendant 5 ans vaudra entre (environ) 161.05 euros si les intérêts sont composés tous les ans et (environ) 163.53 euros si les intérêts sont composés mensuellement 1.

C’est précisément afin de pouvoir comparer des taux qui capitalisent à des fréquences différentes qu’on utilise la notion de taux annuel équivalent 2 : le taux qui, capitalisé une fois l’an, permet d’obtenir le même rendement théorique qu’un taux capitalisé à plus haute fréquence. Typiquement, on démontre facilement que le taux annuel équivalent d’un placement à 10% qui capitalise tous les mois est de 10.47%.

Ce que nous dit le modèle actuariel, c’est que 161.05 euros disponibles dans 5 ans actualisés à un taux de 10% valent 100 euros aujourd’hui, que 88.58 euros disponibles dans 6 ans et actualisés au même taux valent 50 euros et que la somme de ces deux flux de revenus futurs, actualisés à 10% sur 5 et 6 ans respectivement, donne une valeur actuelle de 150 euros. C’est mathématiquement imparable : si nous pouvions investir 100 euros et 50 euros à un taux de 10% capitalisé tous les ans, nous obtiendrions bien 161.05 au bout de 5 ans et 88.58 euros après 6 ans respectivement ; l’hypothèse de réinvestissement à taux constant — tout à fait explicite — n’est qu’une convention de présentation de moyennes géométriques.

La grande confusion vient de ce que de nombreux commentateurs confondent la notion de taux actuariel (ou, au choix, de Taux de Rendement Interne 3) et celle de taux annuel équivalent. Très clairement : personne n’a jamais dit ni écrit — sauf à n’y rien comprendre, ça va de soi — qu’un taux actuariel de 10% était équivalent à la promesse d’un rendement de 10% capitalisé tous les ans. Précisément, ces deux taux ne sont égaux que dans deux cas bien précis : (i) les produits qui ne génèrent aucun flux de revenu intermédiaires (zéro coupon) ou (ii) les produits qui versent des intérêts annuels et permettent de réinvestir ces derniers au taux actuariel (qui n’existent pas).

Dans tous les autres cas, le taux de rendement constaté ex-post sera toujours différent — ne fût-ce qu’un peu — du taux actuariel constaté ex-ante et le modèle actuariel n’a jamais supposé implicitement ou explicitement qu’il en serait autrement. C’est-à-dire que l’hypothèse implicite de la rumeur n’est pas dans le modèle mais dans l’esprit de ceux qui s’en servent sans bien le comprendre.

Sur le web

  1. Au maximum, dans l’hypothèse non moins farfelue où un produit nous verserait des intérêts sur des périodes infiniment courtes (mettons toutes les secondes ou nanosecondes…), on atteindrait 164.87 euros.
  2. Que l’on trouve aussi sous le nom de « taux effectif » ou de Compound Annual Growth Rate (CAGR).
  3. Bref, le taux qui annule la Valeur Actuelle Nette (VAN)
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  • Il est bien dommage que le monde financier dispose de si peu d’actuaires.

    • C’est pas dommage, c’est (encore) un effet du système français et des professions protégées. Pour être actuaire il ne suffit pas de l’être, encore faut-il avoir étudié au bon endroit.

      Mais ce n’est pas grave. Il suffirait que les formations à la finance/assurance/économie mettent les modèles en perspective et fasse réfléchir aux hypothèses plutôt qu’appliquer bêtement (sauf que ça déplait souverainement aux étudiants quand on fait ça… et que ça ne plait pas trop aux entreprises qui veulent des gens qui font, pas des gens qui pensent).

  • Belle démonstration. Comme tous les modèles, le modèle actuariel a une faiblesse : les données qu’on lui fournit sont-elles conformes à la réalité ? Ainsi, le taux de rendement interne d’un investissement dépend de l’estimation des flux financiers générés dans le futur par l’investissement. L’incertitude est grande. De même, l’évaluation actualisée d’une provision pour démantèlement (par exemple d’une centrale nucléaire) est très sensible au taux d’actualisation retenu car la durée peut être de plusieurs décennies. Le résultat est radicalement différent si l’on choisit 2% ou 5%.

    • Effectivement, « garbage in, garbage out » comme on dit en anglosaxonnie… Le problème principal sur ce « modèle actuariel » (qui n’est pratiquement jamais utilisé en actuariat… ) ne sont pas les hypothèses subtiles de ré-investissement ou pas, de taux identique pour chaque période, de composition des intérêts sur base annuelle ou autre. C’est que l’on y entre des prévisions (hautement incertaines dès qu’on dépasse l’année) et qu’on n’y travail le plus souvent qu’en moyenne.

      Une solution c’est de travailler en distributions. Comme c’est souvent très compliqué, mais que les ordinateurs modernes sont très puissants, merci le capitalisme financier, on peut « simplement » utiliser des méthodes de type Monte-Carlo. L’avantage est claire : on n’obtient pas UNE valeur actuelle nette (qui est en fait la moyenne de cette variable aléatoire, mais peu le réalisent) mais une distribution de valeurs actuelles nettes possibles.

      Certes ça reste dépendant des prédictions, mais c’est un grand pas en avant… Pas tellement utilisé ni enseigné, hélas.

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